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圆周率
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计算圆周率 
　　古今中外，许多人致力于圆周率的研究与计算。为了计算出圆周率的越来越好的近似值，一代代的数学家为这个神秘的数贡献了无数的时间与心血。十九世纪前，圆周率的计算进展相当缓慢，十九世纪后，计算圆周率的世界纪录频频创新。整个十九世纪，可以说是圆周率的手工计算量最大的世纪。进入二十世纪，随着计算机的发明，圆周率的计算有了突飞猛进。借助于超级计算机，人们已经得到了圆周率的2061亿位精度。历史上最马拉松式的计算，其一是德国的Ludolph Van Ceulen，他几乎耗尽了一生的时间，计算到圆的内接正262边形，于1609年得到了圆周率的35位精度值，以至于圆周率在德国被称为Ludolph数；其二是英国的William Shanks，他耗费了15年的光阴，在1874年算出了圆周率的小数点后707位。可惜，后人发现，他从第528位开始就算错了。把圆周率的数值算得这么精确，实际意义并不大。现代科技领域使用的圆周率值，有十几位已经足够了。如果用Ludolph Van Ceulen算出的35位精度的圆周率值，来计算一个能把太阳系包起来的一个圆的周长，误差还不到质子直径的百万分之一。以前的人计算圆周率，是要探究圆周率是否循环小数。自从1761年Lambert证明了圆周率是无理数，1882年Lindemann证明了圆周率是超越数后，圆周率的神秘面纱就被揭开了。现在的人计算圆周率, 多数是为了验证计算机的计算能力，还有，就是为了兴趣。 
　　圆周率的计算方法 
　　古人计算圆周率，一般是用割圆法。即用圆的内接或外切正多边形来逼近圆的周长。Archimedes用正96边形得到圆周率小数点后3位的精度；刘徽用正3072边形得到5位精度；Ludolph Van Ceulen用正262边形得到了35位精度。这种基于几何的算法计算量大，速度慢，吃力不讨好。随着数学的发展，数学家们在进行数学研究时有意无意地发现了许多计算圆周率的公式。下面挑选一些经典的常用公式加以介绍。除了这些经典公式外，还有很多其他公式和由这些经典公式衍生出来的公式，就不一一列举了。　　1、Machin公式  
 
　　这个公式由英国天文学教授John Machin于1706年发现。他利用这个公式计算到了100位的圆周率。Machin公式每计算一项可以得到1.4位的十进制精度。因为它的计算过程中被乘数和被除数都不大于长整数，所以可以很容易地在计算机上编程实现。 
　　Machin.c 源程序  
　　还有很多类似于Machin公式的反正切公式。在所有这些公式中，Machin公式似乎是最快的了。虽然如此，如果要计算更多的位数，比如几千万位，Machin公式就力不从心了。下面介绍的算法，在PC机上计算大约一天时间，就可以得到圆周率的过亿位的精度。这些算法用程序实现起来比较复杂。因为计算过程中涉及两个大数的乘除运算，要用FFT(Fast Fourier Transform)算法。FFT可以将两个大数的乘除运算时间由O(n2)缩短为O(nlog(n))。2、Ramanujan公式 
 
　　1914年，印度数学家Srinivasa Ramanujan在他的论文里发表了一系列共14条圆周率的计算公式，这是其中之一。这个公式每计算一项可以得到8位的十进制精度。1985年Gosper用这个公式计算到了圆周率的17,500,000位。 
　　1989年，David  Gregory Chudnovsky兄弟将Ramanujan公式改良成为：  
　　　　这个公式被称为Chudnovsky公式，每计算一项可以得到15位的十进制精度。1994年Chudnovsky兄弟利用这个公式计算到了4,044,000,000位。Chudnovsky公式的另一个更方便于计算机编程的形式是：  
 
　　3、AGM(Arithmetic-Geometric Mean)算法 Gauss-Legendre公式：　　初值： 
　　重复计算： 
　　最后计算：这个公式每迭代一次将得到双倍的十进制精度，比如要计算100万位，迭代20次就够了。1999年9月Takahashi和Kanada用这个算法计算到了圆周率的206,158,430,000位，创出新的世界纪录。  
4、Borwein四次迭代式： 
　　初值： 
　　重复计算： 
　　最后计算： 
这个公式由Jonathan Borwein和Peter Borwein于1985年发表，它四次收敛于圆周率。5、 Bailey-Borwein-Plouffe算法  
 
　　　　这个公式简称BBP公式，由David Bailey, Peter Borwein和Simon Plouffe于1995年共同发表。它打破了传统的圆周率的算法，可以计算圆周率的任意第n位，而不用计算前面的n-1位。这为圆周率的分布式计算提供了可行性。1997年，Fabrice Bellard找到了一个比BBP快40％的公式：



圆周率的计算历史

时间　　　　　　纪录创造者　　　　　　　　　　　　　　小数点后位数 
　　------------------------------------------------------------------------------------- 
　　前2000　　　　古埃及人　　　　　　　　　　　　　　　　1 
　　前1200　　　　中国　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1 
　　前500　　　　圣经　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1 
　　前250　　　　Archimedes　　　　　　　　　　　　　　3 
　　263　　　　　　刘徽　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　5 
　　480　　　　　　祖冲之　　　　　　　　　　　　　　　　　　7 
　　1429　　　　　　Al-Kashi　　　　　　　　　　　　　　　　14 
　　1593　　　　　　Romanus　　　　　　　　　　　　　　　　15 
　　1596　　　　　　Ludolph Van Ceulen　　　　　　20 
　　1609　　　　　　Ludolph Van Ceulen　　　　　　35 
　　1699　　　　　　Sharp　　　　　　　　　　　　　　　　　　71 
　　1706　　　　　　John Machin　　　　　　　　　　　　100 
　　1719　　　　　　De Lagny　　　　　　　　　　　　　　　　127 (112位正确) 
　　1794　　　　　　Vega　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　140 
　　1824　　　　　　Rutherford　　　　　　　　　　　　　　208 (152位正确) 
　　1844　　　　　　Strassnitzky  Dase　　　　200 
　　1847　　　　　　Clausen　　　　　　　　　　　　　　　　248 
　　1853　　　　　　Lehmann　　　　　　　　　　　　　　　　261 
　　1853　　　　　　Rutherford　　　　　　　　　　　　　　440 
　　1874　　　　　　William Shanks　　　　　　　　　　707 (527位正确)二十世纪后年　　　　月　　纪录创造者　　　　　　　　　　　　　　　　　　所用机器　　　　　　　　　　　　　　小数点后位数 
　　------------------------------------------------------------------------------------- 
　　1946　　　　　　Ferguson　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　620 
　　1947　　1　　Ferguson　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　710 
　　1947　　9　　Ferguson  Wrench　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　808 
　　1949　　　　　　Smith  Wrench　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1,120 
　　1949　　　　　　Reitwiesner et al　　　　　　　　　　　　ENIAC　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2,037 
　　1954　　　　　　Nicholson  Jeenel　　　　　　　　　　NORC　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　3,092 
　　1957　　　　　　Felton　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Pegasus　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　7,480 
　　1958　　1　　Genuys　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　IBM 704　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　10,000 
　　1958　　5　　Felton　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Pegasus　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　10,021 
　　1959　　　　　　Guilloud　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　IBM 704　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　16,167 
　　1961　　　　　　Shanks  Wrench　　　　　　　　　　　　　　IBM 7090　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　100,265 
　　1966　　　　　　Guilloud  Filliatre　　　　　　　　IBM 7030　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　250,000 
　　1967　　　　　　Guilloud  Dichampt　　　　　　　　　　CDC 6600　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　500,000 
　　1973　　　　　　Guilloud  Bouyer　　　　　　　　　　　　CDC 7600　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1,001,250 
　　1981　　　　　　Miyoshi  Kanada　　　　　　　　　　　　FACOM M-200　　　　　　　　　　　　　　　　　　2,000,036 
　　1982　　　　　　Guiloud　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2,000,050 
　　1982　　　　　　Tamura　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　MELCOM 900II　　　　　　　　　　　　　　　　2,097,144 
　　1982　　　　　　Tamura  Kanada　　　　　　　　　　　　　　HITACHI M-280H　　　　　　　　　　　　　　4,194,288 
　　1982　　　　　　Tamura  Kanada　　　　　　　　　　　　　　HITACHI M-280H　　　　　　　　　　　　　　8,388,576 
　　1983　　　　　　Kanada, Yoshino  Tamura　　　　HITACHI M-280H　　　　　　　　　　　　　　16,777,206 
　　1983　　10　　Ushiro  Kanada　　　　　　　　　　　　　　HITACHI S-810/20　　　　　　　　　　　　10,013,395 
　　1985　　10　　Gosper　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Symbolics 3670　　　　　　　　　　　　　　17,526,200 
　　1986　　1　　Bailey　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　CRAY-2　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　29,360,111 
　　1986　　9　　Kanada  Tamura　　　　　　　　　　　　　　HITACHI S-810/20　　　　　　　　　　　　33,554,414 
　　1986　　10　　Kanada  Tamura　　　　　　　　　　　　　　HITACHI S-810/20　　　　　　　　　　　　67,108,839 
　　1987　　1　　Kanada, Tamura  Kubo et al　　NEC SX-2　　　　　　　　　　　　　　　　　　134,217,700 
　　1988　　1　　Kanada  Tamura　　　　　　　　　　　　　　HITACHI S-820/80　　　　　　　　　　201,326,551 
　　1989　　5　　Chudnovskys　　　　　　　　　　　　　　　　　　CRAY-2  IBM-3090/VF　　　　　　480,000,000 
　　1989　　6　　Chudnovskys　　　　　　　　　　　　　　　　　　IBM 3090　　　　　　　　　　　　　　　　　　525,229,270 
　　1989　　7　　Kanada  Tamura　　　　　　　　　　　　　　HITACHI S-820/80　　　　　　　　　　536,870,898 
　　1989　　8　　Chudnovskys　　　　　　　　　　　　　　　　　　IBM 3090　　　　　　　　　　　　　　　　1,011,196,691 
　　1989　　11　　Kanada  Tamura　　　　　　　　　　　　　　HITACHI S-820/80　　　　　　　　1,073,741,799 
　　1991　　8　　Chudnovskys　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2,260,000,000 
　　1994　　5　　Chudnovskys　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　4,044,000,000 
　　1995　　8　　Takahashi  Kanada　　　　　　　　　　HITACHI S-3800/480　　　　　　4,294,967,286 
　　1995　　10　　Takahashi  Kanada　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　6,442,450,938 
　　1997　　7　　Takahashi  Kanada　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　51,539,600,000 
　　1999　　4　　Takahashi  Kanada　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　68,719,470,000 
　　1999　　9　　Takahashi  Kanada　　　　　　　　　　HITACHI SR8000　　　　　　　　206,158,430,000　圆周率的最新计算纪录1、新世界纪录  
　　圆周率的最新计算纪录由两位日本人Daisuke Takahashi和Yasumasa Kanada所创造。他们在日本东京大学的IT中心，以Gauss-Legendre算法编写程序，利用一台每秒可执行一万亿次浮点运算的超级计算机，从日本时间1999年9月18日19:00:52起，计算了37小时21分04秒，得到了圆周率的206,158,430,208(3*236)位十进制精度，之后和他们于1999年6月27日以Borwein四次迭代式计算了46小时得到的结果相比，发现最后45位小数有差异，因此他们取小数点后206,158,430,000位的?值为本次计算结果。这一结果打破了他们于1999年4月创造的68,719,470,000位的世界纪录。2、最后20位  
　　圆周率小数点后206,158,430,000位的最后20位为： 
　　22144 96687 55157 309643、n小数点后2000亿位中各数字出现的次数：  
　　0 : 20000030841 1 : 19999914711 
　　　　2 : 20000136978 3 : 20000069393 
　　　　4 : 19999921691 5 : 19999917053 
　　　　6 : 19999881515 7 : 19999967594 
　　　　8 : 20000291044 9 : 19999869180  
　　4、一些有趣的数字序列在n小数点后出现的位置数字序列　　　　　　出现的位置 
　　------------------------------------------------- 
　　01234567891　　　　26,852,899,245  
　　　　　　　　　　　　　　　　　　41,952,536,161 
　　　　　　　　　　　　　　　　　　99,972,955,571 
　　　　　　　　　　　　　　　　102,081,851,717 
　　　　　　　　　　　　　　　　171,257,652,369 
　　01234567890　　　　53,217,681,704 
　　　　　　　　　　　　　　　　148,425,641,592 
　　432109876543　　149,589,314,822 
　　543210987654　　197,954,994,289 
　　98765432109　　　　123,040,860,473 
　　　　　　　　　　　　　　　　133,601,569,485 
　　　　　　　　　　　　　　　　150,339,161,883 
　　　　　　　　　　　　　　　　183,859,550,237 
　　09876543210　　　　42,321,758,803 
　　　　　　　　　　　　　　　　　　57,402,068,394 
　　　　　　　　　　　　　　　　　　83,358,197,954 
　　10987654321　　　　89,634,825,550 
　　　　　　　　　　　　　　　　137,803,268,208 
　　　　　　　　　　　　　　　　152,752,201,245 
　　27182818284　　　　45,111,908,393 
　　1、PiFast  
　　目前PC机上流行的最快的圆周率计算程序是PiFast。它除了计算圆周率，还可以计算e和sqrt(2)。PiFast可以利用磁盘缓存，突破物理内存的限制进行超高精度的计算，最高计算位数可达240亿位，并提供基于Fabrice Bellard公式的验算功能。2、PC机上的最高计算记录 
　　------------------------------------------- 
　　最高记录　　　　　　　　12,884,901,372位 
　　时间　　　　　　　　　　　　2000年10月10日 
　　记录创造者　　　　　　Shigeru Kondo 
　　所用程序　　　　　　　　PiFast ver3.3 
　　机器配置　　　　　　　　Pentium III 1G, 1792M RAM，WindowsNT4.0，40GBx2(IDE,FastTrak66) 
　　计算时间　　　　　　　　1,884,375秒 (21.8天) 
　　验算时间　　　　　　　　29小时　圆周率小数点后1000位3.1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 
　　　　8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128 4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196 
　　　　4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091 4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273 
　　　　7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436 7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094 
　　　　3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548 0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912 
　　　　9833673362 4406566430 8602139494 6395224737 1907021798 6094370277 0539217176 2931767523 8467481846 7669405132 
　　　　0005681271 4526356082 7785771342 7577896091 7363717872 1468440901 2249534301 4654958537 1050792279 6892589235 
　　　　4201995611 2129021960 8640344181 5981362977 4771309960 5187072113 4999999837 2978049951 0597317328 1609631859 
　　　　5024459455 3469083026 4252230825 3344685035 2619311881 7101000313 7838752886 5875332083 8142061717 7669147303 
　　　　5982534904 2875546873 1159562863 8823537875 9375195778 1857780532 1712268066 1300192787 6611195909 2164201989


　　圆周率的探索者Archimedes (BC287 - BC212) 祖冲之 (430 - 501) Ludolph van Ceulen (1540 - 1610) John Machin(1680 - 1751) Johann Heinrich Lambert (1728 - 1777) Adrien-Marie Legendre (1752 - 1833) Johann Carl Friedrich Gauss (1777 - 1855) Carl Louis Ferdinand von Lindemann (1852 - 1939) Srinivasa Ramanujan(1887 - 1920) ENIAC (1946) David  Gregory Chudnovsky David H. Bailey Jonathan M. Borwein Peter Borwein Simon Plouffe Fabrice Bellard (1973) Yasumasa Kanada 从左至右：Eugene Salamin，Yasumasa Kanada, David H. Bailey，William Gosper<br /><br />文章网址：<a href="https://dangbai.cn/Article.asp?ID=10000857" target="_blank">https://dangbai.cn/Article.asp?ID=10000857</a>
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